Варианты ЕГКР по математике 11 класс профиль на 16.12.2025 — полный разбор заданий
ВАРИАНТ № 951
ЧАСТЬ 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. В треугольнике ABC известно, что AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите величину угла C этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________
2. Найдите длину вектора 3a, если a(-8; 6).
Ответ: ___________
3. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √8 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ: ___________
4. В праздничном наборе 100 шариков: 10 красных, 20 синих, а остальные жёлтые и зелёные, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик синего или жёлтого цвета?
Ответ: ___________
5. Садовник принёс две корзинки фруктов. В одной из них 2 яблока и 6 персиков, а в другой — 8 яблок и 12 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения 3 ⋅ 9n-1 = 1/27.
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения √3 ⋅ sin(π/3) ⋅ cos(2π) + √2 ⋅ cos(π/4) ⋅ sin(3π/2).
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-3; 11). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [4; 9].
Ответ: ___________
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 187 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v = c ⋅ (f - f0) / (f + f0), где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: ___________
10. Заказ по изготовлению деталей ученик токаря может выполнить за 18 часов, а токарь — за 12 часов. Ученик начал выполнять такой заказ. Через какое время после начала выполнения заказа учеником нужно начать работу токарю, чтобы в этом заказе деталей, изготовленных учеником, было в два раза больше деталей, изготовленных токарем? Ответ дайте в часах.
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите точку минимума функции y = x3/3 - 25x + 14.
Ответ: ___________
ЧАСТЬ 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13. а) Решите уравнение sin(x + π/6) + sin(x + π/3) = sin(x - π/4).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
15. Решите неравенство 52x+3 - 52x-3 ≥ 5x+3 - 5.
16. 18 апреля 2028 года планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 17-е число каждого месяца необходимо внести платёж в счёт погашения долга;
– 18-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (первые десять месяцев) долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 18-е число предыдущего месяца;
– к 18-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составляет 754 000 рублей?
17. Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 7.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a - 1) ⋅ 25x + (2a - 14) ⋅ 15x = (3a - 15) ⋅ 9x имеет единственный корень.
19. На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
---
ВАРИАНТ № 952
ЧАСТЬ 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. В треугольнике ABC известно, что AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 142°. Найдите величину угла C этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________
2. Найдите длину вектора 4a, если a(-6; 8).
Ответ: ___________
3. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √18 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ: ___________
4. В праздничном наборе 100 шариков: 20 красных, 30 синих, а остальные жёлтые и зелёные, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик синего или зелёного цвета?
Ответ: ___________
5. Садовник принёс две корзинки фруктов. В одной из них 3 яблока и 9 персиков, а в другой — 12 яблок и 18 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения 3 ⋅ 9n+1 = 1/27.
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения √3 ⋅ sin(π/3) ⋅ cos(π) + √2 ⋅ cos(π/4) ⋅ sin(π/2).
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-3; 10). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [-2,5; 9].
Ответ: ___________
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 249 МГц. Скорость v погружения батискафа вычисляется по формуле v = c ⋅ (f - f0) / (f + f0), где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 6 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: ___________
10. Заказ по изготовлению деталей ученик токаря может выполнить за 15 часов, а токарь — за 12 часов. Ученик начал выполнять такой заказ. Через какое время после начала выполнения заказа учеником нужно начать работу токарю, чтобы в этом заказе деталей, изготовленных учеником, было в два раза больше деталей, изготовленных токарем? Ответ дайте в часах.
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите точку минимума функции y = x3/3 - 16x + 23.
Ответ: ___________
ЧАСТЬ 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13. а) Решите уравнение sin(x - π/6) + sin(x - π/4) = sin(x - π/4).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 5 и 12, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D1, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
15. Решите неравенство 3x2 - 3 ⋅ (2x2 - 3) ≥ x2 - 3.
16. 18 апреля 2028 года планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 17-е число каждого месяца необходимо внести платёж в счёт погашения долга;
– 18-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (первые десять месяцев) долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 18-е число предыдущего месяца;
– к 18-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит 477 000 рублей?
17. Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 8.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a - 1) ⋅ 9x + (a - 13) ⋅ 6x = (2a - 14) ⋅ 4x имеет единственный корень.
19. На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 14?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 28?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
---
ВАРИАНТ № 952
ЧАСТЬ 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. В треугольнике ABC известно, что AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 134°. Найдите величину угла C этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________
2. Найдите длину вектора 2a, если a(-8; -6).
Ответ: ___________
3. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √50 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ: ___________
4. В праздничном наборе 100 шариков: 10 красных, 20 синих, а остальные жёлтые и зелёные, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик красного или жёлтого цвета?
Ответ: ___________
5. Садовник принёс две корзинки фруктов. В одной из них 8 яблок и 12 персиков, а в другой — 2 яблока и 6 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения 3 ⋅ 9x-2 = 1/27.
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения √2 ⋅ sin(π/4) ⋅ cos(2π) + √3 ⋅ cos(π/6) ⋅ sin(π/2).
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-1; 13). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [3; 11].
Ответ: ___________
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость v погружения батискафа вычисляется по формуле v = c ⋅ (f - f0) / (f + f0), где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: ___________
10. Заказ по изготовлению деталей ученик токаря может выполнить за 18 часов, а токарь — за 15 часов. Ученик начал выполнять такой заказ. Через какое время после начала выполнения заказа учеником нужно начать работу токарю, чтобы в этом заказе деталей, изготовленных учеником, было в два раза больше деталей, изготовленных токарем? Ответ дайте в часах.
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите точку минимума функции y = x3/3 - 8x + 5.
Ответ: ___________
ЧАСТЬ 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13. а) Решите уравнение cos(x - π/6) + cos(x - π/3) = cos(x - π/4).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 3 и 4, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой BD, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
15. Решите неравенство (2x)/(5x - 3) - (2x - 3)/(5x - 3) ≥ x/(5x - 3) - 5.
16. 18 апреля 2028 года планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 17-е число каждого месяца необходимо внести платёж в счёт погашения долга;
– 18-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (первые десять месяцев) долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 18-е число предыдущего месяца;
– к 18-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит 1 862 000 рублей?
17. Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 6.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a - 1) ⋅ 49x + (3a - 23) ⋅ 14x = (4a - 24) ⋅ 4x имеет единственный корень.
19. На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 20?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 20?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
---
ВАРИАНТ № 953
ЧАСТЬ 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. В треугольнике ABC известно, что AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 148°. Найдите величину угла C этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________
2. Найдите длину вектора 5a, если a(-6; -8).
Ответ: ___________
3. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √98 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ: ___________
4. В праздничном наборе 100 шариков: 20 красных, 30 синих, а остальные жёлтые и зелёные, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик красного или жёлтого цвета?
Ответ: ___________
5. Садовник принёс две корзинки фруктов. В одной из них 12 яблок и 18 персиков, а в другой — 3 яблока и 9 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения 3 ⋅ 9x+1 = 1/27.
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения √3 ⋅ cos(π/6) ⋅ cos(π) + √2 ⋅ sin(π/4) ⋅ sin(3π/2).
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-1; 2). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [-7; -0,5].
Ответ: ___________
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 499 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v = c ⋅ (f - f0) / (f + f0), где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 3 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: ___________
10. Заказ по изготовлению деталей ученик токаря может выполнить за 24 часа, а токарь — за 21 час. Ученик начал выполнять такой заказ. Через какое время после начала выполнения заказа учеником нужно начать работу токарю, чтобы в этом заказе деталей, изготовленных учеником, было в два раза больше деталей, изготовленных токарем? Ответ дайте в часах.
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите точку минимума функции y = x3/3 - 36x + 14.
Ответ: ___________
ЧАСТЬ 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13. а) Решите уравнение cos(x + π/6) + cos(x + π/3) = cos(x + π/4).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 9 и 12, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
15. Решите неравенство (3x2)/3 - (2x - 3)/3 ≥ x2/3 - 3.
16. 18 апреля 2028 года планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 17-е число каждого месяца необходимо внести платёж в счёт погашения долга;
– 18-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (первые десять месяцев) долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 18-е число предыдущего месяца;
– к 18-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит 1 585 000 рублей?
17. Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 9.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a - 1) ⋅ 25x + (2a - 14) ⋅ 20x = (3a - 15) ⋅ 16x имеет единственный корень.
19. На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 28?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 28?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
